高二数学离散型随机变量的均值课件

对于数学的学习，我们高中的同学们可能会感到困难。?为了能够更详细的让我们大家去了解数学学习中的一个非常重要的知识，接下来我们学大教育的专家们就为我们大家带来了高二数学离散型随机变量的均值课件。

离散型随机变量的均值

一、选择题

1.若X是一个随机变量，则E(X-E(X))的值为(　　)

A.无法求　　 B.0

C.E(X) D.2E(X)

[答案]　B

[解析]　只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解.

∵E(aX+b)=aE(X)+b，而E(X)为常数，

∴E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0.

2.设E(ξ)=10，E(η)=3，则E(3ξ+5η)=(　　)

A.45　　 　 B.40

C.30　　 　 D.15

[答案]　A

3.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)=(　　)

A.0.765 B.1.75

C.1.765 D.0.22

[答案]　B

[解析]　设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，

P(X=0)=P(A•B)=P(A)•P(B)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.

P(X=1)=P(A•B+A•B)=P(A)•P(B)+P(A)•P(B)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22.

P(X=2)=P(AB)=P(A)•P(B)=0.9×0.85

=0.765.

∴E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.

4.设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)=1.6，则a-b=(　　)

X 0 1 2 3

P 0.1 a b 0.1

A.0.2 B.0.1

C.-0.2 D.-0.4

[答案]　C

[解析]　由0.1+a+b+0.1=1，得a+b=0.8，①

又由E(X)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6，

得a+2b=1.3，②

由①②解得a=0.3，b=0.5，∴a-b=-0.2，故应选C.

5.已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E(η)=20，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)

ξ 1 2 3 4

P 14

m n 112

A.4760 B.3760

C.2760 D.18

[答案]　A

[解析]　η=10ξ+2⇒E(η)=10E(ξ)+2⇒20=10•E(ξ)+2⇒E(ξ)=95⇒95=1×14+2×m+3×n+4×112，又14+m+n+112=1，联立求解可得m=4760，故选A.

6.(2008•浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)

A.35 B.815

C.1415 D.1

[答案]　A

[解析]　X=1时，P=C17C13C210;X=2时，P=C23C210.

∴E(X)=1×C17C13C210+2×C23C210=7×3+2×3C210=35，

故选A.

7.(2010•福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)=6.3，则a值为(　　)

X 4 a 9

P 0.5 0.1 b

A.5 B.6

C.7 D.8

[答案]　C

[解析]　由分布列性质知：0.5+0.1+b=1，∴b=0.4，∴E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3，∴a=7，故选C.

8.(2010•新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)

A.100 B.200

C.300 D.400

[答案]　B

[解析]　本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题.

记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)=1 000×0.1=100，而X=2ξ，故EX=E(2ξ)=2E(ξ)=200，故选B.

二、填空题

9.(2010•上海理，6)随机变量ξ的概率分布列由下图给出：

x 7 8 9 10

P(ξ=x) 0.3 0.35 0.2 0.15

则随机变量ξ的均值是________.

[答案]　8.2

[解析]　本小题考查随机变量的均值公式.

E(ξ)=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2.

10.已知某离散型随机变量X的数学期望E(X)=76，X的分布列如下：

X 0 1 2 3

P a 13

16

b

则a=________.

[答案]　13

[解析]　E(X)=76=0×a+1×13+2×16+3b⇒b=16，又P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1⇒a+13+16+16=1⇒a=13.

11.从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是________.

[答案]　8.5

[解析]　从1、2、3、4、5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20，取每个值的概率都是110，∴E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.

12.设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：

X 0 1 2

P 12-p

p 12

则E(X)的最大值为________.

[答案]　32

[解析]　由表可得0≤12-p≤1，0≤p≤1，从而得P∈[0，12]，期望值E(X)=0×(12-p)+1×p+2×12=p+1，当且仅当p=12时，E(X)最大值=32.

三、解答题

13.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：

(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值;

(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望.

[解析]　(1)ξ可取的值为1、2、3，

则P(ξ=1)=35，P(ξ=2)=25×34=310，

P(ξ=3)=25×14×1=110，

抽取次数ξ的分布列为：

ξ 1 2 3

P 35

310

110

E(ξ)=1×35+2×310+3×110=1.5.

(2)每次检验取到好电池的概率均为35，

故X～B(n，p)，即X～B(5，35)，

则E(X)=5×35=3.

14.(2010•江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间.

(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的数学期望(均值).

[解析]　本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力.解本题的两个关键点是：一是ξ的所有取值，二是概率.

解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6

P(ξ=1)=13，P(ξ=3)=16，P(ξ=4)=16，P(ξ=6)=13，所以ξ的分布列为：

ξ 1 3 4 6

P 13

16

16

13

(2)E(ξ)=1×13+3×16+4×16+6×13=72(小时)

15.购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999104.

(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).

[解析]　解答第(1)题运用对立事件的概率公式，建立方程求解.

解答第(2)题运用二项分布的期望公式，建立不等式求解.

各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p).

(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ=0，P(A)=1-P(A)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104，

又P(A)=1-0.999104，

故p=0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.

支出：10 000ξ+50 000，

盈利：η=10 000a-(10 000ξ+50 000)，

盈利的期望为：

E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000，

由ξ～B(104,10-3)知，E(ξ)=10 000×10-3，

E(η)=104a-104E(ξ)-5×104

=104a-104×104×10-3-5×104.

E(η)≥0⇔104a-104×10-5×104≥0⇔a-10-5≥0⇔a≥15(元).

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

16.(2009•全国Ⅰ•理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局.

(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;

(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值.

[解析]　设Ai表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5，

Bj表示事件：第j局乙获胜，j=3,4.

(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5.

由于各局比赛结果相互独立，故

P(B)=P(A3•A4)+P(B3•A4•A5)+P(A3•B4•A5)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.

(2)X的可能取值为2,3.

由于各局比赛结果相互独立，所以

P(X=2)=P(A3•A4+B3•B4)=P(A3•A4)+P(B3•B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52，

P(X=3)=1-P(X=2)=1-0.52=0.48.

故X的分布列为

X 2 3

P 0.52 0.48

E(X)=2×P(X=2)+3×P(X=3)=2×0.52+3×0.48=2.48.

高二数学离散型随机变量的均值课件已经很详细的告诉给我们的同学们了，希望我们大家能够认真的去看，这样我们才能掌握。